Justificando a validade da matemática

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Crédito da Imagem: Tigrfire.

Por Renji Rodrigo

Em dezembro, num grupo de debates de matemática, li a seguinte dúvida:

[pull_quote_center]Como justificar a validade da matemática?[/pull_quote_center]

Vou escrever o que aprendi sobre isso de modo intuitivo, deve haver falhas e conceitos que não representam bem os conceitos de filosofia da matemática e lógica, por isso, leiam com ceticismo e busquem fontes extras para aceitar ou negar (digo isso por tentativa de sinceridade intelectual).

Conceito intuitivo de axioma

Algo que é tomado como verdadeiro (uma proposição), sem demonstração.

Porque tomar algo sem demonstração?

Pois se tomássemos A_1 e quiséssemos provar, teríamos a principio que usar um conceito A_2, porém esse conceito A_2 se for aceito sem demonstração é axioma, e recaímos no problema anterior. Se queremos demonstrar, teremos que usar outro conceito A_3, se com esse conceito não formos provar, então é axioma, se formos provar precisamos de um conceito A_4, então, não aceitando axiomas, tomamos uma lista infinita de proposições (A_1,A_2, …,A_n,.. ) sem provas, das quais a principio, não conseguimos chegar ao fim, ou entendimento ( tendo tempo finito para fazer cada demonstração, não as obtemos).

A) Então se partimos de um conceito A, que não provamos, para construir uma teoria, esse conceito é um axioma.

Outro tipo de caso que poderia acontecer é o circular. Queremos Provar B, mas depende de A, e para provar A, isso depende de B e ficamos um círculo onde nada podemos provar.

Geralmente os axiomas ‘iniciais’ da matemática, foram tomados como proposições consideradas evidentes, de tal modo que não se pedia demonstração de sua validade. Esse esquema acima de proposições sem provas, não valeria, a principio apenas para a matemática, mas qualquer sistema onde se quer argumentar e demonstrar uma proposição (filosofia, etc).

Mas, não precisamos é claro, nos prender a esse pedido em teorias formais, os axiomas tomados poderiam ser contra intuitivos.

B) Exemplo de caso assim, que apareceu antes de qualquer motivação física é a negação do quinto axioma de Euclides (das paralelas).

Quinto axioma: Dado uma reta r e um ponto p fora dela, existe apenas uma reta s que passa por p paralela a r.

Negar tal axioma, dizer que exista mais de uma (com outros axiomas do que se chama geometria neutra), gera outra geometria com axioma que a principio não possui motivação física ou qualquer auto evidência.

Então sim, podemos tomar axiomas que negam aquilo que conhecemos de física em um dado momento (se formos achar algo para modelar com física posteriormente já é outra história).

O problema não fica tanto se um axioma é verdadeiro ou falso (o valor lógico dele dentro de uma teoria é postulado, assumido). Um problema que fica é a consistência lógica dos axiomas tomadas, ou que ele não levem a contradição. Apesar que podemos querer argumentar, intuitivamente (sem grande formalidade), do porque adotar um certo axioma ou outro. Mas axiomas diferentes, podem gerar teorias diferentes, que poderiam ter seu próprio interesse teórico.

Noção intuitiva:

A) O que teríamos como consistência lógica? Seria não poder em nossa teoria provar que uma mesma coisa é verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Esse tipo de coisa, que a principio não queremos em uma teoria Matemática.

Comentando a frase:

[pull_quote_center]Apesar da matemática ser considerada exata em sua ciência, o axioma pela qual ela se estrutura não é demonstrado a priori, portanto, não deveríamos levá-la tão a sério.[/pull_quote_center]

Na verdade, se seguir isso, não poderíamos levar a sério, nem filosofia, nem matemática, nem qualquer outro saber teórico formal.

Noção intuitiva:

A) Modelo: Uma teoria matemática (com seus axiomas e definições), que é usado para tentar descrever um certo tipo de fenômeno.

A questão da utilidade da matemática é que, se temos uma teoria-modelo, que satisfaz um certo grupo de axiomas, ao se estudar as implicações de tais axiomas, podemos deduzir informações sobre a teoria-modelo e comparar com a realidade.

Se as implicações do modelo matemático correspondem bem ao tomado pela experiência o modelo nos serve bem e podemos tentar o usar para obter mais informação sobre o mundo real, se o modelo não funciona bem o descartamos e procuramos outro que se encaixe melhor as evidências empíricas.

A matemática na física talvez seja boa evidência de eficácia do modelo axiomático, do qual se constrói a teoria matemática, que depois é usada como modelo, para descrever um fenômeno físico.

Apesar disso a matemática não é criada apenas para modelar problemas científicos (naturais). Pois temos o que se chama matemática pura, onde o interesse e desenvolver os sistemas formais axiomáticos por si mesmos.

Porém, em geral as pesquisas consideradas importantes, em matemática pura são aquelas relacionadas, geralmente (me parece), a teorias fortemente relacionados a algo que já foi feito (resolver problema em aberto), ou então, alguma técnica de modelagem de problemas práticos ou algo que poderia ser útil como para teorias físicas, biologia, computação etc, que por sua vez também alimentam a matemática pura.

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