Matemático de Harvard soluciona problema de xadrez de 150 anos

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Por Juan Siliezar
Publicado na Phys.org

A rainha é a peça mais poderosa do tabuleiro de xadrez. Ao contrário de qualquer outro (incluindo o rei), ele pode mover qualquer número de casas na vertical, horizontal ou diagonal.

Agora considere tal rainha: se você colocar oito delas em um tabuleiro padrão de oito casas por oito casas, de quantas maneiras elas poderiam ser dispostas de forma que nenhuma pudesse atacar a outra? Acontece que são 92. Mas e se você colocar um número ainda maior de rainhas em um tabuleiro de mesmo tamanho relativo, digamos, 1.000 rainhas em um tabuleiro de xadrez de 1.000 por 1.000 quadrados, ou até mesmo um milhão de rainhas em um tabuleiro de tamanho similar?

A versão original do problema matemático das n-rainhas apareceu pela primeira vez em uma revista de xadrez alemã em 1848 como o problema das oito rainhas, e a resposta correta surgiu alguns anos depois. Então, em 1869, a versão mais ampla do problema surgiu e permaneceu sem resposta até o final do ano passado, quando um matemático de Harvard forneceu uma resposta quase definitiva.

Michael Simkin, pós-doutorando no Centro de Ciências Matemáticas e Aplicações, calculou que existem cerca de (0,143n)n maneiras de colocar as rainhas para que nenhuma se ataque em tabuleiros de xadrez gigantes n por n.

A equação final de Simkin não fornece a resposta exata, mas simplesmente diz que esse número é o mais próximo do número real que você pode obter agora. O valor de 0,143, que representa um nível médio de incerteza no resultado possível da variável, é multiplicado por qualquer que seja o n e então elevado à potência de n para obter a resposta.

No tabuleiro de xadrez extremamente grande com um milhão de rainhas, por exemplo, 0,143 seria multiplicado por um milhão, chegando a cerca de 143.000. Esse número seria então elevado à potência de um milhão, o que significa que é multiplicado por si mesmo esse tanto de vezes. A resposta final é um número com cinco milhões de dígitos.

Simkin foi capaz de chegar à equação entendendo o padrão subjacente de como um grande número de rainhas teria que ser distribuído nesses enormes tabuleiros de xadrez – se eles estivessem concentrados no meio ou nas bordas – e depois aplicando técnicas matemáticas e algoritmos.

“Se você me disser que eu quero que você coloque suas rainhas de tal e tal maneira no tabuleiro, então eu seria capaz de analisar o algoritmo e dizer quantas soluções existem que correspondem a essa restrição”, disse Simkin. “Em termos formais, reduz o problema a um problema de otimização”.

Ao se concentrar nos espaços que têm maiores chances de serem ocupados, Simkin descobriu quantas rainhas estariam em cada seção do tabuleiro e criou uma fórmula para obter um número válido de configurações. Os cálculos resultaram no que é conhecido como limite inferior — o número mínimo de configurações possíveis.

Uma vez que obteve esse número, Simkin usou uma estratégia conhecida como método da entropia para encontrar o limite superior, que é o maior número de configurações possíveis.

Simkin descobriu que a resposta do limite inferior corresponde quase perfeitamente à resposta do limite superior. Simplificando, mostrou que a resposta exata está em algum lugar no meio entre os dois limites em um espaço matemático relativamente pequeno.

Simkin trabalha no problema das n-rainhas há quase cinco anos. Ele disse que pessoalmente é um péssimo jogador de xadrez, mas está procurando melhorar suas jogadas. “Ainda gosto do desafio de jogar, mas acho que a matemática é mais indulgente”, disse Simkin, que se interessou pelo problema por causa de como ele poderia aplicar avanços no campo da matemática em que trabalha chamado combinatória, que se concentra em contagem e problemas de seleção e arranjos.

Trabalhar no problema tem sido um teste de paciência e resiliência. Quatro anos atrás como um Ph.D. estudante da Universidade Hebraica de Jerusalém, ele visitou o matemático e mestre do xadrez Zur Luria no Instituto Federal Suíço de Tecnologia em Zurique. A dupla colaborou e desenvolveu novas técnicas para obter uma resposta. No final, depois de dois anos de trabalho, eles só chegaram a um melhor valor de limite inferior e sabiam que estavam faltando alguma coisa.

Simkin terminou seu Ph.D. em 2020 e se mudou para Boston para começar a trabalhar em Harvard. O problema permaneceu sempre no fundo de sua mente, e ele voltou a ele quando percebeu que tinha que começar a se concentrar nos espaços que as rainhas estariam em vez de dar peso igual a cada espaço.

Embora seja teoricamente possível chegar um pouco mais perto de uma resposta ainda mais exata ainda mais exata, Simkin, por enquanto, está feliz em deixar outra pessoa chegar a ela.

“Acho que posso terminar pessoalmente com o problema das n-damas por um tempo, não porque não haja mais nada a ver com isso, mas apenas porque tenho sonhado toda hora com o xadrez e estou pronto para seguir em frente. com a minha vida”, disse.