A importância das provas na matemática: o caso de Rāmānujan

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Srīnivāsa Aiyangār Rāmānujan na Universidade de Cambridge em 1914.

O filme “O homem que viu o infinito (2015)” conta a história de Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan (1887-1920) um brilhante matemático indiano, sem formação acadêmica, responsável por grandes contribuições nas áreas da análise matemática, séries infinitas, frações continuadas, teoria dos números e etc.

Tudo começou, quando incentivado a publicar seus artigos na Inglaterra, Rāmānujan envia cartas ao professor G. H. Hardy – Universidade de Trinity, Cambridge – contando suas descobertas matemáticas. O professor Hardy logo percebe a genialidade do seu trabalho e o convida a fazer parte da elite acadêmica inglesa.

Rāmānujan abandona sua família, esposa e seu país de origem com o intuito de realizar seu grande sonho: publicar seus resultados. Ao chegar na Inglaterra em 1914, Rāmānujan percebe um ambiente hostil e extremamente preconceituoso, muito motivado pela relação colonialista entre britânicos e hindus. E isso se agrava na medida que Rāmānujan revela um estilo peculiar e enigmático de fazer matemática: ele credita suas ideias à uma intuição divina e acaba deixando seus resultados sem explicação ou qualquer tipo de prova.

O professor Hardy então tenta convencê-lo do porquê as provas na matemática são necessárias, ele enfatiza a importância de fornecer argumentos logicamente sólidos e provas para suas afirmações. Apenas dessa forma pode-se ter certeza de que as afirmações matemáticas são verdadeiras além de simples exemplos e, de fato, podem ser confiáveis ​​para serem verdadeiras sempre. Essa afirmação fica expressa no seguinte diálogo do filme:

– Professor Hardy: Como sabia daquele teorema?

– Rāmānujan: Só me ocorreu. Não entendo porque perdemos nosso tempo calculando todas essas provas. Eu tenho todas essas fórmulas.

– Professor Hardy: Não é que discorde, é que não tenho certeza de como chegou lá ou se suas afirmações estão corretas. Há sutilezas que…

– Rāmānujan: Mas estão corretas, senhor. Tenho novas ideias mais importantes.

– Professor Hardy: Intuição não é o bastante. Precisa de embasamento. Por que acha que querem que fracassemos?

– Rāmānujan: Porque eu sou um indiano.

– Professor Hardy: Sim, esse é um dos motivos. Mas também pelo que representamos. Euler e Jacobi. Quem são eles? Euler foi o matemático mais produtivo do século 18, sendo que a maioria de seu trabalho foi feita depois de estar cego. Jacobi, assim como você, foi tirado da obscuridade e impressionou quase tanto quanto Euler. Bem, acredito que esteja na classe deles. O que eles têm em comum, o que vi em você, é um amor pela forma. Por que faz isso?

– Rāmānujan: Porque eu tenho que fazer. Eu vejo.

– Professor Hardy: Como Euler. Forma pela forma. Uma arte por si própria. E como toda arte, revela a verdade. É a única verdade de conheço. É minha igreja. E assim como Mozart podia ouvir toda uma sinfonia em sua mente, você dança com os números até o infinito. Mas essa dança, essa arte, não nos aproxima de certas facções que nos veem como ilusionistas. Se desafiarmos áreas da Matemática que já são tão bem trilhadas, não podemos nos dar ao luxo de estarmos errados. […] Assim como Newton representa o aspecto físico do nosso trabalho, seus cadernos representam o abstrato. Levou muito lempo para provarem Newton. Por isso temos que ter a prova disso. E, se fizermos isso, acredito que um dia, esses cadernos encontrarão um lugar aqui [Biblioteca de Wren, Cambridge]. Agora entende o que está em jogo?

Embora carecendo de provas, o professor Hardy publica um dos resultados de Rāmānujan na prestigiada Sociedade Matemática de Londres: “Números altamente compostos”. E, como já era esperado, não demora a reação por parte da comunidade matemática para contestar seus resultados. Littlewood manda uma carta para Hardy advertindo que o trabalho de Rāmānujan com números primos, está errado.

Ao ser informado que seu teorema está errado (ele ainda exige provas), Rāmānujan reage: “Intuição? Fala dessa palavra como se fosse nada. É tudo que isso é para você? Tudo que sou? Você nunca me viu, nem mesmo me conheceu. Você é um homem sem fé! Mas, logo depois, aceita o desafio imposto por Littlewood de provar matematicamente o seu trabalho.

Como o filme deixa claro, a intuição de Rāmānujan não foi suficiente para respaldar a realidade matemática e acaba ressaltando a importância das provas. As provas na matemática servem para desenvolver o raciocínio crítico, detectar e evitar erros e principalmente permitir que o próprio progresso da matemática seja garantido.

A matemática se baseia no raciocínio dedutivo, você deve começar com uma declaração geral que você conhece como verdadeira e extrair conclusões sobre um caso específico. Esta forma só pode estar errada quando os pressupostos forem falsos. Mas se seus pressupostos estão corretos, sua conclusão segue necessariamente das suas premissas: é verdade em todos os lugares do mundo. Devido a isso, é importante que chequemos a validade dos pressupostos através de provas. Isso fica ilustrado no diálogo de despedida de Hardy com Rāmānujan:

– Rāmānujan: Você queria saber de onde eu tirava minhas ideias. Minha Deusa Namagiri. Ela fala comigo. Coloca as fórmulas na minha língua quando vou dormir, às vezes quando estou rezando. Acredita em mim? Se for meu amigo saberá que estou falando a verdade”.

– Hardy: Mas não acredito em Deus. Não acredito em nada que não possa provar.

– Rāmānujan: Não vê? Uma equação não tem significado para mim a não ser que expresse um pensamento de Deus.

– Hardy: Quando estava na escola, lembro de um dos meus capelães que disse “Você sabe que Deus existe porque Ele é como uma pipa, e você pode sentir ao puxar a linha e saber que Ele está lá”. Eu disse: “E se não houver vento e a pipa não voar? ”

Como Hard expressa na sua última fala, a razão pela qual realmente temos que provar as coisas é que podemos ser facilmente enganados. Mesmo que algo seja verdade sempre que tentarmos, isso não mostra uma condição suficiente para termos certeza de que sempre será assim. A intuição pode induzir ao erro, ao detectar padrões que só sirva para um conjunto de números. Para considerar uma conclusão como verdadeira, precisamos ter certeza de que os pressupostos gerais estão corretos e de que os usamos corretamente.

Com as provas em mãos, Rāmānujan entra para a Royal Society e se torna professor no Trinity College.  Infelizmente o gênio não aproveitou muito seu estrelato. Em 1920, com 32 anos e somente sete depois de ter enviado a carta que o levou à Inglaterra, uma tuberculose lhe leva ao óbito. No entanto, sua obra permanece viva, seu trabalho traz grandes contribuições para a matemática e para a física dos buracos negros.

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Ótimo artigo.