Bertrand Russell e os fundamentos da matemática

O cientista e escritor inglês defendeu ideias que o levou a ser expulso das universidades de Cambridge, Chicago e da City College de Nova York.

0
366
Bertrand Russell, em uma imagem tirada por volta de 1965. Crédito: Getty Images.

Por Antonio Córdoba
Publicado no El País

No mês passado, comemorou-se o cinquentenário da morte do matemático, filósofo e escritor Bertrand Russell. Sua prolífica obra e proteica atividade intelectual, comprometida e inconformista, tiveram uma profunda influência na educação sentimental e política de muitos membros da minha geração. Muito antes da Internet existir e o termo influencer se tornar popular, Russell exerceu autoridade e elegância. Embora isso não tenha sido uma tarefa livre de riscos: ele foi preso duas vezes por defender suas ideias, sendo a primeira na Primeira Guerra Mundial e a segunda, quando já era velho, ao ser expulso da Universidade de Cambridge em 1916. Ele também foi expulso da minha querida Universidade de Chicago e da City College de Nova York, por suas opiniões sobre casamento e liberdade sexual, nos anos 40 do século passado.

Lutou pelo pacifismo na Grande Guerra, fez campanha pelo desarmamento nuclear, denunciou crimes na Guerra do Vietnã, se opôs ao nazismo e ao stalinismo e defendeu visões modernas sobre educação e sexualidade. Tudo isso o tornou extremamente atraente para a juventude universitária, a quem ele fascinou com suas ideias e frases brilhantes: “Os cientistas se esforçam para tornar o impossível possível. Políticos fazem o possível impossível”; “De todas as formas de cautela, a cautela no amor é talvez a mais fatal para a felicidade”; “Muitas das dificuldades pelas quais o mundo está passando se devem ao fato dos ignorantes estarem completamente seguros e os sábios cheios de dúvidas”; “A boa vida é uma vida inspirada no amor e guiada pelo conhecimento”.

Ele contribuiu para o desenvolvimento da lógica-matemática, apontando os problemas em seus fundamentos que implicavam em paradoxos, ou antinomias, presentes na teoria dos conjuntos. Os chamados números naturais, 1, 2, 3, …, são elementos básicos de nossa linguagem e de nosso cotidiano que, entre outros usos, utilizamos para contar, ordenar, somar, multiplicar e distribuir. No entanto, sua definição exata não é tão óbvia.

No final do século XIX, o lógico Gottlob Frege e o matemático Georg Cantor tentaram dar uma definição, reduzindo a noção de número ao “mais primitivo” conjunto ou agregado, seguindo o modo de funcionamento de nosso cérebro, que entende números contando os elementos dos conjuntos. No entanto, Cantor percebeu imediatamente que o uso ingênuo da noção de conjunto levava a certas antinomias que precisavam ser elucidadas.

No entanto, foi Bertrand Russell quem popularizou um paradoxo especialmente claro e simples, que mostrou as deficiências da fundamentação conjuntista. Ele definiu um conjunto ordinário como aquele que não se contém como elemento; o caso oposto é chamado de extraordinário. Por exemplo, um conjunto de cadeiras não é uma cadeira e, portanto, é ordinário, pois não se contém como elemento; enquanto o catálogo de todos os catálogos é, segundo Russell, um exemplo de um conjunto extraordinário. Considere o “conjunto de todos os conjuntos ordinários”. Claramente, não pode ser ordinário, porque se fosse teria a si próprio como elemento e, portanto, seria extraordinário; mas também não pode ser extraordinário, porque se fosse teria que ser ordinário como todos seus elementos.

Esse paradoxo e outros de natureza semelhante deram origem à chamada crise dos fundamentos e levaram ao desenvolvimento da lógica-matemática. Nas crises, geralmente aparecem personagens pragmáticos que sugerem esquecer as questões de princípio e propõem que nos concentremos na tarefa de estabelecer regras do jogo que sejam claras e permitam, mantendo uma certa dignidade, continuar com a tarefa. Essa foi a aspiração do grande David Hilbert e da escola formalista, cujo traço encontramos nas axiomáticas de Peano e Zermelo-Fraenkel. Por sua vez, Bertrand Russell em conjunto com Alfred N. Whitehead continuaram com o programa lógico, que queria reduzir a matemática à lógica. Os três volumes do Principia Mathematica foram o resultado de suas tentativas de eliminar paradoxos através de uma axiomática exata, que eles chamaram de Type Theory (Teoria dos Tipos).

Ambos os pontos de vista, o logicismo e o formalismo, tentaram formular um sistema de axiomas consistente (ou seja, que não daria origem a contradições) e completo (a validade ou falsidade de qualquer proposição poderia ser elucidada dentro do sistema). Mas Kurt Gödel acabou com esses devaneios de uma teoria matemática com seu famoso teorema da incompletude.

O Principia Mathematica de Russell e Whitehead são, em certo sentido, o ato de um projeto frustrado. Mas eles contribuíram muito para o desenvolvimento da lógica-matemática, que, no trabalho de Kurt Gödel, Paul Cohen, Thoralf Skolem, Alonzo Church e Alan Turing, entre outros, tornou-se uma construção magnífica e útil, sem o qual não é possível conceber o desenvolvimento da teoria moderna da computação e das linguagens de computadores que mudaram tanto o mundo.

CONTINUAR LENDO