Por Robbert Dijkgraaf
Publicado na Quanta Magazine
A matemática pode ser mais uma ciência ambiental do que percebemos. Embora seja uma busca por verdades eternas, muitos conceitos matemáticos traçam suas origens na experiência cotidiana. A astrologia e a arquitetura inspiraram egípcios e babilônios a desenvolver a geometria. O estudo da mecânica durante a revolução científica do século XVII nos trouxe o cálculo.
Notavelmente, as ideias da teoria quântica também representam um tremendo poder matemático, embora tenhamos pouca experiência diária em relação a partículas elementares. O mundo bizarro da teoria quântica – onde as coisas podem parecer estar em dois lugares ao mesmo tempo e estão sujeitos às leis da probabilidade – não só representa uma descrição mais fundamental da natureza do que a precedeu, mas também fornece um contexto rico para a Matemática moderna. Poderia a estrutura lógica da teoria quântica, uma vez totalmente compreendida e absorvida, inspirar um novo campo da matemática que poderia ser chamado de “matemática quântica”?
Há, é claro, uma relação longa e íntima entre matemática e física. Galileu escreveu sobre um livro da natureza que espera ser decodificado: “A filosofia está escrita neste grande livro, o universo, que permanece aberto ao nosso olhar. Mas o livro não pode ser entendido, a menos que primeiro aprendamos a compreender a linguagem e a ler as letras das quais é composta. Está escrito na linguagem da matemática”. A partir de tempos mais modernos, podemos citar Richard Feynman, que não era conhecido como conhecedor da matemática abstrata: “Para aqueles que não conhecem a matemática, é difícil entender a beleza mais profunda da natureza. …Se você quer aprender sobre a natureza, para apreciar a natureza, é necessário entender a linguagem em que ela fala”. (Por outro lado, ele também afirmou: “Se toda a matemática desaparecesse hoje, a física a traria novamente em exatamente uma semana”, a que um matemático teve a resposta inteligente: “Foi nessa semana que Deus criou o mundo”)
O físico matemático e laureado do Prêmio Nobel, Eugene Wigner, escreveu eloquentemente sobre a incrível habilidade da matemática para descrever a realidade, caracterizando-a como “a eficácia irracional da matemática nas ciências naturais”. Os mesmos conceitos matemáticos aparecem em uma ampla gama de contextos. Mas, nos dias de hoje, parece estar testemunhando o contrário: a eficácia irracional da teoria quântica na matemática moderna. As ideias que se originam na física de partículas têm uma tendência estranha a aparecer nos mais diversos campos matemáticos. Isto é especialmente verdadeiro para a teoria das cordas. Sua influência estimulante na matemática terá um impacto duradouro e gratificante, qualquer que seja o seu papel final na física fundamental. O número de disciplinas que toca é vertiginoso: análise, geometria, álgebra, topologia, teoria da representação, combinatória, probabilidade – a lista continua. Começo a sentir pena pelos pobres alunos que têm que aprender tudo isso!
Qual poderia ser a razão subjacente dessa eficácia não racional da teoria quântica? Na minha opinião, está intimamente ligada ao fato de que, no mundo quântico, tudo o que pode acontecer acontece.
De uma maneira muito esquemática, a mecânica clássica tenta calcular como uma partícula viaja de A para B. Por exemplo, o caminho preferido pode ser ao longo de uma geodésica – um caminho de comprimento mínimo em um espaço curvo. Na mecânica quântica considera-se, em vez disso, a coleta de todos os caminhos possíveis de A a B, por mais longos e complicados que seja. Esta é a famosa interpretação de “soma das histórias” de Feynman. As leis da física atribuirão então a cada caminho um certo peso que determina a probabilidade de uma partícula se mover ao longo dessa trajetória particular. A solução clássica que obedece às leis de Newton é simplesmente a mais provável entre elas. Assim, de forma natural, a física quântica estuda o conjunto de todos os caminhos, como um conjunto ponderado, permitindo-nos somar todas as possibilidades.
Esta abordagem holística de considerar tudo ao mesmo tempo é o espírito da matemática moderna, onde o estudo de “categorias” de objetos se concentra muito mais nas relações mútuas do que em qualquer exemplo individual específico. É essa visão panorâmica da teoria quântica que traz novas e surpreendentes conexões.
Calculadoras quânticas
Um exemplo impressionante da magia da teoria quântica é a simetria espelho – uma equivalência verdadeiramente surpreendente de espaços que revolucionou a geometria. A história começa em geometria enumerativa, um ramo bem-estabelecido, mas não muito emocionante, de geometria algébrica que conta os objetos. Por exemplo, os pesquisadores podem querer contar o número de curvas nos espaços de Calabi-Yau – soluções de seis dimensões das equações de gravidade de Einstein que são de particular interesse na teoria das cordas, onde são usadas para enrolar as dimensões extras do espaço.
Assim como você pode enrolar uma faixa de borracha em torno de um cilindro várias vezes, as curvas em um espaço de Calabi-Yau são classificadas por um número inteiro, chamado de grau, que mede a frequência com que se enrola. Encontrar o número de curvas de um determinado grau é um problema difícil, mesmo para o espaço mais simples de Calabi-Yau, o chamado quintic. Um resultado clássico do século 19 afirma que o número de linhas – curvas de grau um – é igual a 2.875. O número de curvas de grau dois só foi calculado em torno de 1980 e revela-se muito maior: 609,250. Mas o número de curvas do grau três exigiu a ajuda de teóricos das cordas.
Por volta de 1990, um grupo de teóricos das cordas pediu aos geômetras para calcular este número. Os geômetras inventaram um complicado programa de computador e voltaram com uma resposta. Mas os teóricos das cordas suspeitavam que estava errado, o que sugeria um erro no código. Ao verificar, os geômetras confirmaram que havia mesmo um erro, mas como os físicos sabiam?
Os teóricos das cordas já haviam trabalhado para transformar esse problema geométrico em um físico. Ao fazê-lo, eles desenvolveram uma maneira de calcular o número de curvas de qualquer grau de uma só vez. É difícil superestimar o choque desse resultado em círculos matemáticos. Era como inventar uma maneira de escalar todo tipo de montanha, não importa o quão alta seja!
Dentro da teoria quântica, faz todo o sentido combinar o número de curvas de todos os graus em uma única função elegante. Montado dessa maneira, ele tem uma interpretação física direta. Pode ser visto como uma amplitude de probabilidade para uma cadeia que se propaga no espaço de Calabi-Yau, onde o princípio da soma das histórias foi aplicado. Uma corda pode ser pensada para testar todas as curvas possíveis de todos os níveis possíveis ao mesmo tempo e, portanto, é uma “calculadora quântica” super-eficiente.
Mas um segundo ingrediente era necessário para encontrar a solução real: uma formulação equivalente da física usando o chamado espaço “espelho” de Calabi-Yau. O termo “espelho” é enganosamente simples. Em contraste com a forma como um espelho comum reflete uma imagem, aqui o espaço original e seu reflexo têm formas muito diferentes; eles nem têm a mesma topologia. Mas no reino da teoria quântica, eles compartilham muitas propriedades. Em particular, a propagação de cordas em ambos os espaços é idêntica. A computação difícil no coletor original se traduz em uma expressão muito mais simples no coletor do espelho, onde pode ser calculada por uma única integral. Et voilà!
Dualidade de iguais
A simetria do espelho ilustra uma poderosa propriedade da teoria quântica chamada dualidade: dois modelos clássicos podem se tornar equivalentes quando considerados como sistemas quânticos, como se uma varinha mágica fosse balançada e todas as diferenças de repente desaparecessem. As dualidades apontam para simetrias profundas, mas muitas vezes misteriosas, da teoria quântica subjacente. Em geral, elas são mal compreendidas e uma indicação de que nossa compreensão da teoria quântica está incompleta na melhor das hipóteses.
O primeiro e mais famoso exemplo dessa equivalência é a conhecida dualidade das ondas de partículas que afirma que todas as partículas quânticas, como um elétron, podem ser consideradas como uma partícula e como uma onda. Ambos os pontos de vista têm suas vantagens, oferecendo diferentes perspectivas sobre o mesmo fenômeno físico. O ponto de vista “correto” – partícula ou onda – é determinado unicamente pela natureza da questão, não pela natureza do elétron. Os dois lados da simetria do espelho oferecem perspectivas duais e igualmente válidas sobre a “geometria quântica”.
A matemática tem a capacidade maravilhosa de conectar mundos diferentes. O símbolo mais negligenciado em qualquer equação é o sinal de igual. As ideias fluem através dele, como se o sinal igual conduzisse a corrente elétrica que ilumina a lâmpada “Eureka!” em nossa mente. E as linhas duplas indicam que as ideias podem fluir em ambos os sentidos. Albert Einstein era um mestre absoluto de encontrar equações que exemplificam essa propriedade. Tome E=mc², sem dúvida a equação mais famosa da história. Em toda a sua elegância discreta, conecta os conceitos físicos de massa e energia que foram vistos como totalmente distintos antes do advento da relatividade. Através da equação de Einstein, aprendemos que a massa pode ser transformada em energia e vice-versa. A equação da teoria da relatividade geral de Einstein, embora menos atrativa e conhecida, une os mundos da geometria e da matéria de uma maneira igualmente surpreendente e bela. Uma maneira sucinta de resumir essa teoria é que a massa diz ao espaço como se curvar, e o espaço diz à massa como se mover.
A simetria do espelho é outro exemplo perfeito do poder do sinal de igual. É capaz de conectar dois mundos matemáticos diferentes. Um é o domínio da geometria simplética, o ramo da matemática que está subjacente a uma grande parte da mecânica. Do outro lado está o domínio da geometria algébrica, o mundo dos números complexos. A física quântica permite que as ideias fluam livremente de um campo para o outro e fornece uma “grande unificação” inesperada dessas duas disciplinas matemáticas.
É reconfortante ver como a matemática conseguiu absorver tanto o raciocínio intuitivo, muitas vezes impreciso, da física quântica e da teoria das cordas, e transformar muitas dessas ideias em declarações e provas rigorosas. Os matemáticos estão perto de aplicar essa exatidão à simetria do espelho homológico, um programa que amplia amplamente a ideia original da simetria do espelho da teoria das cordas. Em certo sentido, eles estão escrevendo um dicionário completo dos objetos que aparecem nos dois mundos matemáticos separados, incluindo todas as relações que eles satisfazem. Notavelmente, essas provas muitas vezes não seguem o caminho que os argumentos físicos sugerem. Aparentemente, não é o papel dos matemáticos facilitar o caminho para os físicos! Pelo contrário, em muitos casos, novas linhas de pensamento deveriam ser desenvolvidas para encontrar as provas. Esta é uma evidência adicional da lógica profunda e ainda não descoberta que está subjacente à teoria quântica e, finalmente, à realidade.
Niels Bohr gostava muito da noção de complementaridade. O conceito emergiu do fato de que, como Werner Heisenberg provou com seu princípio de incerteza, na mecânica quântica pode-se medir o momento p de uma partícula ou sua posição q, mas não ambos ao mesmo tempo. Wolfgang Pauli sintetizou essa dualidade em uma carta a Heisenberg datada de 19 de outubro de 1926, apenas poucas semanas após a descoberta: “Pode-se ver o mundo com o olho em p, e pode-se vê-lo com o olho em q, mas se abrir ambos os olhos, então uma deles fica louco”.
Em seus últimos anos, Bohr tentou empurrar essa ideia para uma filosofia muito mais ampla. Um dos seus pares complementares favoritos foi a verdade e a clareza. Talvez o par de rigor matemático e intuição física seja adicionado como outro exemplo de duas qualidades mutuamente exclusivas. Você pode olhar para o mundo com um olho matemático ou com um olho físico complementar, mas não se atreva a abrir os dois.
